——让开放性问题进入数学课堂——

主持人语申建春： 人类社会发展至今，改革、开放已成为时代的最强音。面对千变万化的信息社会，基础教育的目标已不是将一切知识教给一切人，而是要教会一切人学会学习，打开思路，大胆创新。于是数学开放性问题的教学在国际上受到广泛关注。

让开放性问题进入数学课堂

开放性问题的特征

戴再平（浙江教育学院）：数学开放题是相对传统封闭题而言的。比如下面的6个题目：①计算24×75；②边长为12的正方形可以分割为几个边长为3的正方形？③一个长为2.5米，宽为6米，高为1.2米的水槽可容纳多少立方米的水？④1800是哪两个数的乘积？⑤边长为12的正方形可以分割为几个边长为整数的正方形？⑥学校操场旁边的小水塘里有多少水？怎样测量？这里①、②、③三道题都是封闭题，④、⑤、⑥三道题都是开放题。数学开放题一般具有下列特征：⑴所提的问题常常是不确定的；⑵没有现成的解题模式；⑶在寻求解答的过程中可促进主体的认知结构的重建；⑷常常通过实际问题提出；⑸全体学生都可参与；⑹教师难以用注入式进行教学；⑺在求解的过程中往往可引出新的问题。
马复（南京师范大学）：数学中的“封闭性问题”一般指问题的条件和结论都完全确定，而且不多不少。而所谓“开放性问题”是指：就问题本身而言，或者条件是不完全确定的，或者结论是不唯一的，甚至没有标准答案。如：“由2，3，6可以得到什么数？”“给一个直角型的楼梯铺地毯，需要测量哪些数据？”这些题不同的人有不同的做法，都能够达到目的。对解题者来说，它提供了广阔的思维空间，使得每一位解题的人都能从自己的数学背景和理解角度出发，去获得对问题的解答。
王志亮（甘肃省教科所）：数学开放题最突出的特征是：①内容、形式的新颖性；②问题解决的发散性；③教育功能的创新性。开放题的类型大约可分为5类：第一类，条件开放型，即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一。例1.妈妈买了相同价格的糖，付了40元钱，售货员找给她4元，你知道她买了几盒糖吗？这题中每盒糖的单价没有给出，所以答案是多样的。第二类，结论开放型，即在给定条件下，结论不唯一。例2.用2根相等的长棒，2根相等的短棒，摆成一个四边形，你能摆出几种？例3.有一个棱长为5厘米的正方体，将它沿某些棱剪开，有几种展开图？第三类，策略开放型，即思维策略与解题方法不唯一。例4.围着火塘一圈一次可以烤10个红薯，烤熟一面要5分钟，两面烤熟才完全烤熟。现要烤15个红薯，需要多长时间？第四类，综合型，即条件、结论、策略中至少有两项是开放的。例5.一个长方形，剪掉一个角，剩下部分还有几个角？第五类，设计（实践）型，需要用数学进行计划性的预测和规划的问题。例6.暑假已到，上海某初中的小明与两位同学相约，到上海附近旅游城市（苏州、杭州）去3日游，得到父母的同意，并答应给他们800元钱，规定旅游时间不得超过3天，回上海的时间不能超过晚上10点。再给出到两城市的火车、轮船、汽车时间表、票价和旅游点的门票价，要求学生做出旅游计划，鼓励进一步查寻其他资料。
傅世球（怀化师专数学系）：封闭性的问题是传统教学中条件完备、结论确定的数学问题，而所谓开放性的问题是没有现成的解题模式可套用的数学问题，其条件可能不完备，需要在求解的过程中不断完善或增添假设，其结论也是丰富多彩的、非单调的，其解题途径、思路因人而异、灵活多样的。如“3x2y 与5xy2有什么共同点？”“你能找出根为x=1的方程吗？找得越多越好。”“已知直角三角形的三边分别是a、b、c，∠C=90。 , 试探求其内切圆半径r与三边之间的关系，并探索出自己的证明方法。”这些题都可以算做是开放性问题。
周莉莉（重庆师范学院研究生）：开放性问题的特点：①接受性—学生愿意考虑它；②障碍性—不能一眼看出答案；③探索性—不能用常规方法解决，需要探索研究。
朱乐平（杭州市上城区教师进修学校）：看以下两题：①在17个苹果中，至少拿去几个，余下的苹果能平均放在4个盘子中？②在17个苹果中，拿去几个，余下的苹果能平均放在4个盘子中？在这两个题中，第①题的答案是唯一的（即至少拿去1个苹果），学生要么就是“做得出”，要么就是“做不出”，界线十分分明，这种题一般称为封闭题。第②题的答案是不唯一的，不同的学生会给出不同的回答，我们在测试中发现学生有下面的不同答案——学生1：拿去1个；学生2：拿去1个或5个；学生3：拿去1个、13个或9个；学生4：拿去5个、1个、13个或9个都可以；学生5：拿去13个；……这些解答都是正确的，这样的题就是开放题。
张宝菁（冷水江教科所）：开放题与探索题有区别，探索题的条件一般是完备的，结论需要探索之后再证明。例如：① 一个因数是16，另一个因数是2，积是多少？ ②一个因数是16，另一个因数2分别扩大5倍、10倍、100倍，积怎样变化？③一个因数是16，另一个因数2变化以后，积怎样变化？这里①题是封闭题，②题是探索题，③题是开放题。
李同好（湖南教育学院）：现代数学的发展使得基本的数学观发生了变化，由静态的、绝对主义的数学观转移到了动态的、经验的和拟经验的数学观。开放题正是这种数学观的具体表现。

开放性问题的教育功能

李瑞华（怀化师专数学系）：开放性问题可以激发学生探索、发现的创造意识。江泽民同志说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。”将开放性问题引入数学课堂就是从小训练学生的创新能力。开放性题还可以促进学生智力因素与非智力因素的同步发展。因为要想顺利地解出开放题，必须对问题进行全方位、多角度的观察、分析，充分揭示问题的本质特征，既要注意力集中，又要记忆力强，想象力丰富，思维敏锐；有些开放题还可以长时间钻研，需要意志力和毅力，从而促进非智力因素的发展。
戴再平：数学开放题的教育价值，在于所有的学生都能参与它的解题过程，它对于培养学生的学习数学的兴趣，加强学习数学的自信心，培养学生的动手能力和创造精神，都有极大的作用。
马复：开放题有许多独到的教育价值。首先，它使几乎每一个学生都有解决问题的机会，都能通过尝试解决问题去获得一些知识或者方法，从而使得“数学教育面向全体学生”这一新教育观念具备了一定的可操作性；其次，它可以引发课堂内的数学交流，使得数学课堂真正成为学生从事数学活动的场所，通过交流大大加深对知识的理解。
朱乐平：开放题有利于因材施教。学生之间的数学知识和能力差异是客观存在的。为了在课堂上尽可能的照顾这种差异，已经有过许多的数学教学实验研究，如采用分层设计练习题的方法，即根据学生的数学知识和能力，设计基础题、提高题、综合题，或分成A、B、C、D四个层次，学生根据自己的水平，选择不同层次的练习题，这样有利于因材施教，但长期这样做，教师的工作量大，实际上难以作到。而开放题由于答案的不唯一性，解答时，有些答案可能容易得到，有些答案却难以找到；有些解题者可能是盲目地瞎凑，找到一个算一个，而有些解题者则试图寻找规律，有序地考虑问题，能尽量避免答案的重复和遗漏，如此等等。正是开放题的这种多层次性，能适应多层次的学生，为因材施教提供了很好的材料。可能会出现两个学生都做出了某个开放题，但作出的答案的多少，以及考虑问题是否有序，更能反映学生的思维水平，体现出不同的层次。
周莉莉：教学开放性问题，有利于让学生在解决问题的过程中获得对知识的生动理解，对数学技能的牢固掌握，从而培养其创新意识和能力。
李培芳（浙江湖州市爱山小学）：由于开放题起点低、层次多，答案不唯一，策略多样化，学生易下手，基础差的学生也能进行自己的思考，体验成功，因此，学生愿意参与，能体现“人人掌握数学，不同的人学习不同的数学”的大众数学思想。
张宝菁：开放题对培养数学爱好者有一定的作用。课后布置开放题给学有余力的学生思考、讨论，能促进数学兴趣小组的发展。

要重视开放性问题的教学

李同好：开放题教学是数学本身发展的需要，是培养学生数学创新精神和创新能力的需要，是培养数学实践能力的需要，也就是实施数学素质教育的需要。不让数学开放题进入课堂，那将是素质教育的重大损失，是现代数学教育的重大失误。
    赵雄辉：为了使开放题进入中小学数学，在《国家数学课程标准》（征求意见稿）中提出了有关要求，并给出了一些示例。如：“设法测量一个土豆的体积。”（如将土豆放在水中，间接测量。也可将土豆切成规则形体估计体积。） “一次水灾有大约3万人的生活受到影响，灾情将持续1个月。试推算：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？”“选择适当的统计量来表示我们班同学最喜欢的颜色。”相信新标准的讨论和实施将会有效促进开放题的教学。
戴再平：由数学开放题这一载体所决定的开放式的教学，之所以成为一种新的教学模式，是因为构成教学模式的三个结构——师生关系结构、教学内容结构、教学过程结构在开放题教学中呈现出一种全新的稳定的联系。1996年全国教育科学规划办公室批准“开放题——数学教学的新模式”立项为教育科学研究“九五”规划重点课题，目前在刊物上发表的有关文献已超过120篇，为向广大师生提供教学参考资料，课题组编写的《中小学数学开放题丛书》已陆续出版。特别是教育部已明确指出在数学考试中“应设计…开放性的问题 ”（见3月13日《中国教育报》教育部：《关于2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》），“数学开放题”这一课题的研究，正方兴未艾，我们希望教师们在数学教学中适当安排一些开放性的例题的课，以数学开放题为切入口，为使我国小学数学现代化而共同努力！
    朱乐平：开放题的教学要有效组织学生进行交流。例如：在算盘中，请你用一颗上珠和一颗下珠，表示出万以内的数。面对这个问题，部分学生会凑出6、15、1050、6000等部分结果，但思维水平比较高的学生可能会有序地考虑，如采取下面的解题策略。法一，从表示数的数位多少考虑，即考虑一颗上珠和一颗下珠分别表示的一位数、二位数、三位数和四位数的数字。列成下表：
几位数       能表示的数      个数
一位数    6       1
二位数    60，15，51       3
三位数    600，150，105，510，501       5
四位数    6000，1500，1050，1005，5100，5010，5001       7

    其中个数是奇数列增加。法二，把一颗上珠分别固定在个位、十位、百位、千位上，再把下珠依次从个位向千位移动。
①    把上珠固定在个位上：6，15，105，1005；
②    把上珠固定在十位上：51，60，150，1050；
③    把上珠固定在百位上：501，510，600，1500；
④    把上珠固定在千位上：5001，5010，5100，6000；
此题也可以把一颗下珠分别固定在个位、十位、百位、千位上，再把上珠依次从个位向千位移动来解；还可以把两颗珠先同时固定，再同时移动来解。
像这种题的教学，独立思考后的讨论交流，必将提高每一个学生的思维水平，促进每一个学生在原来的基础上向前发展。
李培芳：开放题教学教师应大胆地“放一放”，把时间留给学生，放手让学生讨论。放过之后，也不能忽视“收”的作用，就是要在教师的引导下，集中学生的智慧，起到相互补充、相互提高的作用。如：学校要围一个面积为210平方米的长方形花圃（长、宽都为整数米），请你设计几种方案。教学这一题，先放手让学生找答案，再教师与学生一起观察每种答案与210的关系，发现一般规律。这样，“放”与“收”，既重视发挥学生的主体性，又不失教师的主导性。
马复：开放题的教学要选择好的数学问题，“好问题”的特征包括：问题的条件、结论、所描述的对象，给解题者提供广阔的思维空间，使他们有机会经历有意义的数学活动，如观察、猜测、检验、修正、证明、推广等，而且在活动中需要使用基本的、重要的数学知识、数学方法；好问题还最好能表现出层次性，使不同的学生都能去思考，并有所得。为了开发好的开放题，可充分利用已有的学习素材，通过自我思考、与同事或学生合作来进行。例如，改封闭题为开放题：①将“3×5=？”改成“构造一个算式，其运算结果为15。”②将“伸延数列1，2，4，……”改为“讨论数列1，2，4，……可以如何伸延？”③将“求如图三角形的面积”改为“构造一些三角形，使其与如图的三角形面积相等。”④将“具有五条边的封闭直线图形叫做什么？”改为“画出五条直线可以构成什么样的图形？”许多现实生活中的问题也可以成为有意义的开放性问题，如“举办一次象棋比赛，参赛选手来自100个城市，选手的参赛路费由主办单位承担。为了节省路费，选择哪一个城市作为比赛地点为好？”
周莉莉：为了教开放性问题，可以从教材上选取相关的习题加以扩展，也可以引入实际开放题，作专题讨论。
王志亮：开放性题的教学，要选择好联系实际的开放题，题量和难度要合适，不可从封闭性题的“题海战”走向开放题的“题海战”，教学中，要给学生充分的思考时间与活动空间，让学生有机会创新。在评价学生的解题时，对学生的每一点进步都要肯定，而不要过分追求完整的答案。
李同好：目前我国开放性问题进入课堂还有不少阻力，原因很多，如课程改革的力度太小，教材上的开放题太少；师范院校的教学滞后，培养出的教师缺乏变封闭性问题为开放性问题的能力，中小学教师习惯的教学方法不适宜开放题的教学；还有教育评价手段落后，各级考试特别是升学考试中开放性问题缺乏，等等。所以，要使开放性题在学生素质培养中发挥应有的作用，广大数学教育工作者还要做大量的研究和宣传工作。（赵雄辉整理）